La quadratura del cerchio

23 Luglio 2023 0 Di giuseppe perpiglia

Il 14 marzo si festeggia il pi-day, dedicato all’iconica costante aritmetica nota come π (p-greco). Il nome dovrebbe derivargli, secondo alcuni, dall’iniziale del greco περίχωρα (perichora = periferia), secondo altri, invece, da περίμετρος (perimetros = perimetro), o ancora da Pitagora.

Tale costante si incontra già nel primo ciclo di istruzione e la si porta nello zaino, in pratica, per tutta la vita. La maggior parte degli studenti la prende, la usa per i calcoli con cerchi e circonferenze e tutto finisce lì. Sarebbe, invece, un ottimo esercizio far riflettere i ragazzi su cosa si nasconda dietro questa lettera greca e, più in generale, dietro al complesso e per certi versi affascinante mondo della matematica e dei numeri, mondo che è nato in modo contestuale all’evoluzione dell’uomo. Il p-greco, però, non è l’unica costante aritmetica che si incontra nel corso degli studi e che vengono utilizzate senza che se ne conosca la storia e le implicazioni nella nostra vita. Si pensi, ad esempio, al valore della radice quadrata del 2, alla radice quadrato del 3 o anche al rapporto aureo, così largamente presente in natura.

Già i Babilonesi si posero il problema della quadratura del cerchio ed assegnarono a p-greco il valore di 25:8 = 3,125, che oggi sappiamo essere un’approssimazione per difetto. Gli Egizi, che si trovarono ad affrontare lo stesso problema nella costruzione delle piramidi, non trovarono di meglio che assegnarli il valore di 3,1605, in questo caso approssimato per eccesso.

A causa dei limitati strumenti del tempo era alquanto difficile, nei loro calcoli, raggiungere una precisione nemmeno lontanamente paragonabile a quella che permettono i moderni calcolatori elettronici. Si pensi, ad esempio, che, utilizzando un supercalcolatore con ben 24 dischi rigidi da 6 terabyte (=10¹² byte!) ognuno si è arrivati a calcolare 22.459.157.712.361 cifre decimali!

Ma perché i diversi popoli, già dall’antichità, si affannarono ad inseguire tale costante? Perché essa, per quanto non tutti ne siano consapevoli, pervade la quotidianità della nostra vita ancora oggi, molto più di ieri. Fare degli esempi sarebbe lungo e sicuramente molto noioso. Un esempio per tutti. I nostri amatissimi ed inseparabili telefoni cellulari funzionano perché, direttamente o indirettamente, sono collegati ad un sistema di satelliti che ruotano in orbite geostazionarie il cui calcolo è possibile grazie all’utilizzo del p-greco. In questo, come in tanti altri casi, maggiore è l’accuratezza del valore del p-greco e più precisi saranno i calcoli necessari per far girare tutto alla perfezione.

Sul sito http://angio.net/pi/ è possibile consultare un database ad hoc che contiene 200 milioni di cifre decimali del p-greco: c’è di che togliersi molte curiosità.

Nell’antichità, ed anche se in misura minore ancora oggi, ai numeri si davano significati magici ed esoterici. Tornando agli Egizi, essi avevano quasi una venerazione per quelle che addirittura chiamavano “terne magiche” perché permettevano loro di ottenere triangoli rettangoli perfetti, importantissimi per le costruzioni delle case, dei palazzi e dei grandi monumenti.

La più grande scuola filosofico-matematica della Magna Grecia fu senza dubbio Crotone, l’antica Kroton, faro culturale, politico e commerciale di tutta la Magna Grecia. Per i pitagorici il numero era l’Arché, cioè l’origine di tutte le cose. Essi consideravano il numero come un’entità fisica, e quindi per loro esistevano solo i numeri naturali. Pensavano, inoltre, che, essendo entità fisiche, avessero anche una loro particolare forma e da questa idea prese spunto quella branca della scienza che conosciamo come aritmogeometria, consistente, appunto, nella sintesi tra l’aritmetica e la geometria. Per Pitagora, infatti, il numero era qualcosa di completo: la dimensione essenziale delle cose (non un ente astratto).

«In altri termini Pitagora non solo ridusse ogni rapporto spaziale a una dimensione numerica (come facciamo noi), ma assegnò anche un significato spaziale ai numeri. Ve ne sono così di triangolari, di quadrati, di rettangolari, di pentagonali (un residuo di questa dottrina rimane nelle espressioni matematiche relative al ‘cubo’ o al ‘quadrato’ di un numero).

L’equivalenza etimologica del termine calcolo (sassolino) con numero deriva proprio dall’uso pitagorico di operare con semplici pietruzze disposte a terra per formare i numeri: in questo modo le operazioni si tramutavano in spostamenti spaziali delle pedine, come su un pallottoliere. Il limite di quelle procedure consisteva nella difficoltà di effettuare operazioni con numeri molto grandi.» (dall’enciclopedia on line Wikipedia).

Per i pitagorici la figura in grado di rappresentare la perfezione era il TETRAKTIS, un triangolo equilatero i cui lati erano formati ognuno da quattro entità (numeri), per cui in totale si avevano dieci entità. L’entità corrispondente al numero 10 conteneva tutte le cifre pari (2-4-6-8) e tutte le cifre dispari (3-5-7-9). L’unità, nella loro filosofia, non era considerata né pari né dispari ma era qualcosa a sé stante che chiamavano parimpari perché era in grado, quando aggiunta, di trasformare un pari in dispari e viceversa. Un’altra curiosità. Per Pitagora e per i suoi seguaci, i dispari erano più perfetti dei pari perché non potevano essere divisi (si ricorda che operavano solo con i numeri naturali); il maschio, ovviamente, era considerato dispari mentre la femmina era considerata pari.

Tutta l’impalcatura pitagorica subì un grave scossone, paradossalmente, per colpa dello stesso Pitagora e del suo ultra famoso teorema. In un triangolo rettangolo isoscele, infatti, l’ipotenusa è uguale alla lunghezza del lato moltiplicato per la radice quadrata di 2 che è un numero irrazionale non periodico, per cui non può essere ricondotto al rapporto fra due numeri interi. Lo stesso vale per p-greco a cui facciamo ritorno.

Un altro grande genio del passato, Archimede da Siracusa, escogitò un metodo semplice e funzionale per avvicinarsi ulteriormente alla determinazione del p-greco. Considerò una circonferenza di raggio unitario e vi disegnò due poligoni regolari con lo stesso numero di lati, uno inscritto ed uno circoscritto. L’area del cerchio, pari al valore di p-greco, sarebbe stata compresa tra le aree dei due poligoni. La forbice della variazione diminuiva all’aumentare del numero dei lati. Con i suoi semplici mezzi giunse all’individuazione di due numeri che chiamò “guardiani” e che corrispondono a 3+10/71 e 3+1/7 secondo la disequazione 3+10/71 (3,14084) < π < 3+1/7 (3,14285).

Bisognò aspettare il medioevo per avere un’accelerazione nella determinazione di ulteriori cifre decimali del p-greco. Nel XV secolo, infatti, Ludolf van Ceulen, utilizzando il metodo di Archimede con poligoni di 200 lati, arrivò a calcolare 35 cifre decimali di p-greco e ne fu tanto soddisfatto che pretese che venissero incise anche sulla sua pietra tombale.

In seguito furono trovati altri metodi per calcolare le cifre decimali di p-greco e qui ne riportiamo soltanto due, entrambi basati sulle serie infinite:

La serie di Gregory Leibniz che assume la forma seguente: π = 4/1-4/3+4/5-4/7+4/9- … È una serie di somme e differenze alternate di frazioni aventi tutte per numeratore 4 e per denominatori via via tutti i numeri dispari;
La serie di Nilakantha: π = 3+4/(2*3*4)-4/(4*5*6)+4/(6*7*8)-4/(8*9*10)+… In questo caso ogni termine, dopo il 3 iniziale, alternativamente addizionato e sottratto, è costituito da una frazione avente per numeratore sempre 4 e per denominatore il prodotto di tre fattori ad iniziare dal maggiore del termine precedente. La prima terna è costituita da 2, 3 e 4.

Entrambe le serie potrebbero essere utilizzate e calcolate con un foglio di calcolo con grafico annesso per far vedere la tendenza asintotica del valore calcolato.

Un piccolo inciso.

Sempre utilizzando un foglio di calcolo si potrebbe calcolare il rapporto aureo.

Questo è dato dal rapporto della proporzione a:b=b:(a-b), con a<b ed entrambi positivi.

A questo link è possibile scaricare un foglio di calcolo in MS-Excel® 2016 con tutte e tre le serie appena illustrate.

Per concludere alcune curiosità.

Perché il giorno dedicato a celebrare il p-greco cade proprio il 4 marzo? Perché utilizzando la notazione anglosassone, tale data si scrive 3.14, cioè proprio il valore di p-greco normalmente utilizzato nelle scuole. Per uno strano caso del destino in tale data nacque Albert Einstein, l’uomo che introdusse la fisica moderna.

Oltre al Pi-day, ci sono altre date dedicate al Pi approximation day, cioè dedicati a valori approssimati di p-greco.

Il 26 aprile che è il 116esimo giorno dell’anno e coincide con il giorno in cui la terra ha percorso un arco di circonferenza pari ad 1/π volte l’orbita terrestre.
Il 22 luglio perché, 22/7=3,14285… (essendo luglio il settimo mese dell’anno).
L’11 novembre perché questo è il 314esimo giorno dell’anno.
Il 21 dicembre alle ore 1:13 perché è il 355esimo giorno dell’anno e 355/113=3,1415929

Infine, la data per eccellenza per quanto riguarda i festeggiamenti in onore di p-greco è stata il 14 marzo 2015 alle ore 9:29:53, infatti nella notazione anglosassone questa data diventa 3,141592953 che è l’approssimazione massima possibile con le date.

La quadratura del cerchio

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